The first angle is one fourth of the second angle. The third angle equals the sum of the first and second angles. Find the third angle.

ব্যাখ্যাঃ ধরি, প্রথম কোণ = \(P_1\)
দ্বিতীয় কোণ = \(P_2\)
তৃতীয় কোণ = \(P_3\)

প্রশ্ন অনুযায়ী সম্পর্কগুলো হলো:
১. প্রথম কোণ দ্বিতীয় কোণের এক-চতুর্থাংশ।
অর্থাৎ, \(P_1 = \frac{1}{4} P_2\)
এখান থেকে পাই, \(P_2 = 4P_1\) .......(i)

২. তৃতীয় কোণ প্রথম এবং দ্বিতীয় কোণের যোগফলের সমান।
অর্থাৎ, \(P_3 = P_1 + P_2\) .......(ii)

এখানে কোনো সুনির্দিষ্ট জ্যামিতিক চিত্রের উল্লেখ না থাকলেও, সাধারণত এই ধরনের সমস্যায় কোণগুলো একটি ত্রিভুজের কোণ হিসাবে বিবেচিত হয়, যেখানে কোণ তিনটির সমষ্টি \(180^\circ\) হয়। যদি তা না হয়, তবে তৃতীয় কোণের একটি নির্দিষ্ট মান নির্ণয় করা সম্ভব নয়। সুতরাং, আমরা ধরে নিই যে এই তিনটি কোণ একটি ত্রিভুজের অংশ।

একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি \(180^\circ\) হয়।
সুতরাং, \(P_1 + P_2 + P_3 = 180^\circ\) .......(iii)

এখন, সমীকরণ (i) এবং (ii) থেকে \(P_2\) এবং \(P_3\)-এর মান সমীকরণ (iii)-এ বসাই:
\(P_1 + (4P_1) + (P_1 + 4P_1) = 180^\circ\)
\(P_1 + 4P_1 + 5P_1 = 180^\circ\)
\(10P_1 = 180^\circ\)
\(P_1 = \frac{180^\circ}{10}\)
\(P_1 = 18^\circ\)

এখন \(P_1\)-এর মান ব্যবহার করে \(P_2\) এবং \(P_3\)-এর মান নির্ণয় করি:
\(P_2 = 4P_1 = 4 \times 18^\circ = 72^\circ\)

\(P_3 = P_1 + P_2 = 18^\circ + 72^\circ = 90^\circ\)

সুতরাং, তৃতীয় কোণটি হলো \(90^\circ\)।